e sayısını bilmiyoruz e^x fonksiyonunu arıyoruz.

Başlatan z, 11 Ocak 2019, 12:09:10

z

e sayısının bilinmediği bir dönemde yaşadığımızı varsayın.

Öyle bir fonksiyon bulunuz ki türevi kendisine eşit olsun.

Türev tanımından yola çıkarsak aradığımız f(x) fonksiyonu aşağıdaki eşitliği sağlamalıdır.

f(x) = d/dx f(x) = lim a->0 (f(x+a) - f(x))/a

lim a->0 f(x+a) - f(x)= lim a->0 af(x)

lim a->0 f(x+a)= lim a->0 af(x)+f(x)

lim a->0 f(x+a)= lim a->0 f(x)(1+a)

Peki devamını getirip f(x)=e^x olması gerektiğini gösterebilirmisiniz?

----------------------------------------------------------------

Yöneticimize not:  Forumun Latex'i gene bozulmuş.

$$ \frac{d}{dx}f(x)$$

[latex=inline]\int_0^{2\pi}\frac{Sin(\theta)}{2}d\theta[/latex]

JOKERAS

Ben Hala e sayısının bilinmediği dönemde yaşıyorum:)

Not: Zaten Forumun başına ne geldiyse senin Latex Formatından gelmişti:)

quarko

"Aslanlar kendi hikayelerini yazmadıkça, avcıların kahramanlık hikayelerini dinlemek zorundayız."

z

e'nin bilinmedigi donemde ln ne arasin?

a^x in turevini e^x yada ln(x) den yararlanmadan cozseniz de olur.

Baslangici ben yapayim.

d/dx a^x = lim z->0 (a^(x+z) - a^x)/z =lim z->0 (a^x * a^z  - a^x)/z =lim z->0  a^x(a^z - 1)/z

Dikkat ederseniz kilit konu lim z->0  (a^z - 1)/z

Devami?

FeelYourMind

Birleşik faiz formülünden hesaplanabilirdi ayrıca taylor serisi veya maclaurin serisinden de hesaplanabilirdi. Yanlış hatırlamıyorsam bu serilerin keşfi e sabitinin farkına varılmasından daha önceye dayanıyordu.

z

e^x fonksiyonunu Taylor yada Maclourine serisi ile polinom olarak yazabilirsiniz tabiki fakat bunun icin  e^x fonskiyonunun turevini almayi bilmenizi gerektiriyor. Yani aradigimiz seyin turevini biliyor olmaz gerekir ki  bu durumda cevap Taylar vs olamaz.

Fakat turevi kendine esit olan fonksiyonu seriye acabiliriz. Bunun icin bu fonksiyona e^x gibi yakistirma yapmaya gerek yok. Bunu bir ara dusunelim.

Aslinda e^x in a^x fonskiyonundan bariz bir farki yok.  herhangi bir a degeri ile a^x grafigini cizseniz e^x grafigi ile kalip olarak bire bir benzer.

a sadece e degerini alirsa a^x fonksiyonun turevi gene a^x cikar. Bu da e yi cok ozel kilar.

e sayis ilk kez nerden cikti bilmiyorum.

1/x fonksiyonunun integrali 1 ile hangi ust sinir arasinda alinirsa sonuc 1 cikar sorusunda cevap ust sinir = e olarak karsimiza cikar.

Neyse sorumuza donelim.

Evet yukaridaki limitlerin sonucu nedir?

Bu sorulari cozebilmek icin e nin daha onceden farkina varilmis dolayisi ile e^x ve ln(x) fonksiyonu biliniyor mu olmasi lazim?

e sayisi bilinmezden once a^x in turevi alinamiyormuydu?






FeelYourMind

11 Ocak 2019, 18:44:35 #6 Son düzenlenme: 12 Ocak 2019, 00:21:00 FeelYourMind
İlk kez Jhon Napier 1618 yılında logaritma hesaplarında kullanmış e sabitini.

Yalnız söylemeliyim ki 1711 yılında Newton hesaplarında türevi kullanıyordu ki türevin de bulunması sanırım daha önceye dayanıyor. Euler'in de bu sabite adını verdiği tarih 1731. Ayrıca Taylor serisi de muhtemelen 1730lu yıllarda bulundu. Yani e sabiti Taylor serisi ya da daha basitçe Maclaurin serisi ile hesaplanabilirdi. Çünkü türevin varlığı biliniyordu.

z

O zaman seriden gidebiliriz.

Fakat seriden gitmeden lim x->0 (e^x - 1)/x=1 ispatini veren olursa sevinirim.

d/dx f(x) = f(x) olan fonksiyon nedir den yola cikalim.

Bu durumda bu fonksiyonun yuksek dereceli tum turevleri de f(x) dir.

0 civarinda seriye acarsak

f(x)=f(0)[1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+.....]

Simdi turev tanimindan d/dx f(x) = f(x) = lim n->0 (f(x+n)-f(x))/n den

f(x) = lim n->0 (f(0)[1+(x+n) + (x+n)^2/2 + (x+n)^3/6+.....]- f(0)[1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+.....])/n

f(x) = lim n->0 (f(0)[1+(x+n) + (x+n)^2/2 + (x+n)^3/6+.....- 1-x-x^2/2-x^3/6-x^4/24-.....])/n

f(x) = lim n->0 (f(0)[1-1 - (x+n)-x + ((x+n)^2- x^2)/2 + ((x+n)^3 - X^3)/6+..... ])/n

f(x) = lim n->0 (f(0)[ n/n + ((2xn +n^2)/2n + ((x+n)^3 - X^3)/6n+..... ]) = 1

f(0)=1

Bunu f(x)=f(0)[1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+.....] de yerine yazarsak

f(1)=[1+1+1/2+1/6+1/24+..... = e

Artik fonskiyonumuzun x=0 icin y=0 ve x=1 icin y=e oldugunu biliyoruz.

Fakat hala fonksiyonun y=e^x oldugunu bilmiyoruz.

Burda f(2), f(3)... hesaplanip e^2 ve e^3 durumu farkedilirse matematik induksiyon yapilirsa ne ala.

Fakat farkedilemezse f(x)=f(0)[1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+.....] seri acilimini daha detayli incelemek gerekecek.