e sayısına eşitlik durumu

[z]

Bir serinin toplamı adını sanını bilmediğimiz 2.718... gibi bir sayıya yakınsadı diyemi a a a  ilginç bir sayı bu dendi diyorsunuz?

Sonsuz toplamı 1, 2, 3, 4, 5 gibi değerlere yakınsayan serileri de yazabiliriz ve elde ettiğimiz bu sayılar a a a dememizi gerektirecek güzellikte sayılar değiller.

e yi muhteşem kılan e^x fonskiyonunun türev ve integralinin gene kendisinin oluşu. (Bu benim görüşüm). Bu da ancak diferansiyel hesap sonrası ortaya çıkacak bir durum.

Pi öyle değil mesela. En basitinden daire alanı yada çevresi ile çap arasında böyle bir katsayının oluşu hemen dikkatleri kendine çekiyor.

e nin hikayesini arıyorum. Yukarıdaki 1/x fonksiyonunda ki sorular bir cevaplansa sorun kalmayacak.

[pisayisi]

Grafiği vermişsiniz işte ne güzel, orda görünen mavi alanın 1 birim olduğu noktayı yatay eksende e olarak kabul etmişler, tamamıyla varsayım siz Z de diyebilirdiniz. Dolayısı ile eğrilerin altındaki alanla logaritma arasındaki sonucu bildiğinize göre e tabanlı logaritmaya nasıl varıldığı da apaçık ortada...

[z]

Söylediklerinizi de gözönüne alarak;

Maviye boyanmış alanın değerinin 1 olduğunu varsayıp bu sonucu verecek sınırları merak ediyoruz. Sınırın başlangıcı 1.  Biz sınırın bitiş değerini bilmek istiyoruz.

Bu sayının değerini bilmediğimiz için buna bir sembol verelim. Kabul.

Bu sembol e olsun.

Bu mavi alan   dx/x ' in 1...e aralığındaki integrali ile hesaplanır. (e bilinmiyor. Sadece bir sembol.)

Ama bu sınırlı integralin sonucunun 1 olduğunu biliyoruz.

1/x fonksiyonunun integral alındığında f(x) fonksiyonuna ulaşacağız. Biz neyi bilmiyoruz? dx/x integralinin ln(x) olduğunu bilmiyoruz.  Çünkü e henüz icad edilmedi. Fakat;   f(e) - f(1) = 1 biliyoruz.

f(1)=0 yazabiliriz. Çünkü geçmişten gelen alan yok.

O halde f(e)=1 dir.

Bu noktayı aşabilmem için bana 1/x  fonksiyonunun integralinin nasıl bulunduğunu (icat edildiğini) söyleyebilirmisiniz?

[fractal]

burda bir çok kez dönüp dolaşılıp integrela geldi iş.aynı şekilde ne zaman integral işlemi çıktı sorusu gelir akla.birçok kişi eskiden belli bir simeterisi olmayan şekillerin alanlarının olabildiğinde kücük dikdörgenlerinin alanları olarak hesaplama yönteminin bilindiğinden çıkarak bu soruyu  açıklamaya çalışacak.aslında antik çağlardan beri hatta ortaçağdada aslında matemtiksel bir problem geometrtika olarak ifade ediliyor ve ona göre çözüm aranıyordu.bahsi gecen dönemdede bu cok yaygındı.şöyle düşünelin ne olduda 1/x integralini almak istedik.daha öncesinde ne olduda geometrisiz integral almak istedik.aynı şekilde neden e sayısını logaritmaya soktuk....bence bunlar o dönemin geometrik problemleriydi ve bu e sayısıda bu sorulardan birinin cevabıydı.aynı şekilde pi sayısının olduğu gibi.yine aynı şekilde altın oranın olduğu gibi..

[speak48]

matlabta hesaplıcak olsak kolay

sm=100000;
x = linspace(1,5,sm);
f=1./x;
top=0;
for i=2:sm
    top =  top + ( f(i) + f(i-1) )/2 * ( x(i)-x(i-1) )   ;
    if(top>1)
        break
    end
end
msg=sprintf('number e = %d',x(i));
disp(msg);
format long
x(i)

ama bu sorunu o dönemde nasıl çözdüler bunu söylebilecek olan varmı
söyliyemiceksenizde bilgiçlik adına boş laflar yazmayın

[fractal]

nasıl çözdüler değil neden çözme gereği doğdu ?problem nerden ve nasıl doğdu?

bu konuda z haklı.hadi şuna e diyelim.hadi 1/x eğrisinin altındaki alanı bulalım,hadi şunu yapalım şeklinde olmadı bunlar.mutlaka bir ihtiyaç doğrultusunda oldu.

[speak48]

zaten bizde geriye doğru anlamaya çalışıyoruz dimi
toplamayı ele alalım
eğer toplamayı nasıl yapıldığını anlamazsak
toplamayı niye yaptılar onu nasıl anlayalım

[fractal]

geriye doğru gidilecek son notalardan biri antik yunandır.çünkü ozamanlarda madde tüm boyutları ile tartışılmaya açılmıştır.maddeyi oluşturan şey nedir.zaman nedir.devinim nedir?o döenmlerde çıkan ok paradoksu ile fiziksel bir şey sınırları araştırılmıştır.bir doğru parçası ne kadar bölünebilir.bakınız burda neden belli.amaç belli.bir ok nasıl oluyorda sonlu zamanda sonsuz parçağın toplamı şeklindeki doğru parçasını yani mesafeyi kat edebiliyor.tabi türev görmüş günümüz homo sapiensleri hemen atlıyor.
bence bu e sayısı tamamen geometrik bir problemi çözmeye çalışırken çıkarılmıştır.eskiden denklemlerde geometri ile çözülürdü belli bir dereceye kadar.
yine geometri kullanarak küçük dikdörgenlere ayırma metodu ile belli bir hata payı için belli sayılara ulaşılmış olabilir.

[speak48]

ama bu sorunu o dönemde nasıl çözdüler bunu söylebilecek olan varmı
söyliyemiceksenizde bilgiçlik adına boş laflar yazmayın

gökten antik yunan düşsün emi

[fractal]

2 de bir aynı şeyi yazıp duruyorsun bu soruyu o dönemde nasıl çözzdüler.

o dönemde o sorunun olduğunu nerden biliyorsun?çıkış noktası bumu?sadece 1/x eğrisinin altında kalan alanımı merak etmişler.o dönemde  o soruyu doğuran nedeni değil e yi hangi soru gerektirdide e gibi bir sayıya ulaşıldı.

[z]

Peki e yi unutalım. Dolayısı ile ln(x) fonksiyonunu da unutalım. Daha icat edilmedi.

Ama logaritma icat edildi. 

Kim log(x) in türevini hesaplayabilir?

Başlangıcı ben yapayım.

y=log(x)

x=10^y

dx/dy=lim dy-->0   (10^(y+dy) - 10^y)/dy = lim dy-->0   10^y (10^dy - 1)/dy

Haydi bunu hesaplayın belki e'de kaldığımız yerden devam ederiz.

[pisayisi]

Bu noktayı aşabilmem için bana 1/x  fonksiyonunun integralinin nasıl bulunduğunu (icat edildiğini) söyleyebilirmisiniz?

Natural logaritma yani ln  1/x fonksiyonunun 1 den istediğimiz noktaya kadar ilerlediğimizde eğrinin altındaki alanı veriyordu çünkü böyle tanımlanmış. Bu alanı da 1/x i  integre ederek bulabildiğimize göre 1/x in integrali sınırlarda sıkıntı yoksa ln(x) olacaktır, çünkü eğrinin altındaki alan için logaritmik bir fonksiyon tanımı yapmışız. Aslında hepsi varsayımdan ibaret, dikkat edin hiç bir ifade size alanın sayısal değerini veremiyor tamamı hayaller varsayımlardan ibaret. Eğer ifadem yanış ise 1/x i hiç logaritma bilmeden integre ederek sonucu verin derim. Bu durumda değişkene bağlı basit bir çözümünüz hiç olmayacak...

[speak48]

2 de bir aynı şeyi yazıp duruyorsun bu soruyu o dönemde nasıl çözzdüler.
o dönemde o sorunun olduğunu nerden biliyorsun?çıkış noktası bumu?sadece 1/x eğrisinin altında kalan alanımı merak etmişler.o dönemde  o soruyu doğuran nedeni değil e yi hangi soru gerektirdide e gibi bir sayıya ulaşıldı.

illa cevabı sana soruyormuşum gibi yazılı sonrası öğrenci hali almışsın
feveran etmenin anlamı yok.
bilmiyorsan susulur.
mesaj birleştirme:: 25 Şubat 2013, 20:38:26

Natural logaritma yani ln  1/x fonksiyonunun 1 den istediğimiz noktaya kadar ilerlediğimizde eğrinin altındaki alanı veriyordu çünkü böyle tanımlanmış.

çizdim baktım harbiden öyle

[trgtylcnky]

Compound interest
The effect of earning 20% annual interest on an initial $1,000 investment at various compounding frequencies

Jacob Bernoulli discovered this constant by studying a question about compound interest:[6]

    An account starts with $1.00 and pays 100 percent interest per year. If the interest is credited once, at the end of the year, the value of the account at year-end will be $2.00. What happens if the interest is computed and credited more frequently during the year?

If the interest is credited twice in the year, the interest rate for each 6 months will be 50%, so the initial $1 is multiplied by 1.5 twice, yielding $1.00×1.52 = $2.25 at the end of the year. Compounding quarterly yields $1.00×1.254 = $2.4414..., and compounding monthly yields $1.00×(1+1/12)12 = $2.613035... If there are n compounding intervals, the interest for each interval will be 100%/n and the value at the end of the year will be $1.00×(1 + 1/n)n.

Bernoulli noticed that this sequence approaches a limit (the force of interest) with larger n and, thus, smaller compounding intervals. Compounding weekly (n = 52) yields $2.692597..., while compounding daily (n = 365) yields $2.714567..., just two cents more. The limit as n grows large is the number that came to be known as e; with continuous compounding, the account value will reach $2.7182818.... More generally, an account that starts at $1 and offers an annual interest rate of R will, after t years, yield eRt dollars with continuous compounding. (Here R is a fraction, so for 5% interest, R = 5/100 = 0.05)

Paradan faiz almanin sumerler/fenikeliler devrinden beri yapildigini biliyoruz.  Herhalde 1600lere kadar gecen 3-4 bin sene sirasinda baska birileride bunun farkina varip vay be demistir!

Hocam bana manyıklı geldi bu aslında. Birisi çıkıp buradan doğal logaritma diye bir şey olduğunu bulmuş olabilir. Tabii bunun doğal olduğunu anlaması için fiziğin biraz daha gelişmesini beklemek gerekebilir.

[ErsinErce]

günlük hayattan benzer durum olarak bir su deposunun boşalma süresi de 1/x grafiğine benziyor belki bu tarz bir şeyi hesaplamak içinde kullanılmış olabilir ?