(http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/DiffExpLogFcns_files/eq0012MP.gif)
Bu eşitliğin ispatını arıyorum.
e sayısının hikayesi ile ilgili iki link.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html (http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html)
http://www.math.uconn.edu/~glaz/my_articles/theenigmaticnumbere.convergence10.pdf (http://www.math.uconn.edu/~glaz/my_articles/theenigmaticnumbere.convergence10.pdf)
burada bulmak zor olsa gerek
e ye benimde ilgim var
esas geldiği yer 1/x in altında 1 ile e arası alanın 1 olmasından.
ama nasıl hesaplanmış bilmiyorum.
1/x fonksiyonundan yola çıkıp e'ye ulaşma fikri bana biraz kaçamakca cözüm gibi geliyor. (Hissi davranıyorum)
Neden bir adam durup dururken 1/x fonksiyonunun çok dar bir aralığının alanını bulmak istesin? Evet bulunca e sayısına ulaşır da neden istesin?
Asıl merak ettiğim konuların başında ise, 1/x fonksiyonunun integrali ne zamandan beri çözülebiliyordu? Mukayese edecek olursak e sayısının farkına varılışından çok çok önce çözülebiliyormuydu?
1661 de Huygens 1/x hiperbolunun 1 ile e aralığındaki alanının 1 birim olduğunu bulmuş .Buna göre e, öyle bir sayı olmalıymış ki; e tabanına göre logaritma alındığında sonuç 1 olsun ve bu da hiperbolun 1 ile e aralığındaki alanına eşit olsun.
hiperbolun 1 noktasında tüm logaritmalar sıfırdır. dolayısı ile 1 noktasından sağa doğru ilerlediğinizde nerde durursanız durun o noktanın e tabanına göre alınan logaritması, 1 ile durduğunuz nokta arasındaki eğrinin altındaki alanı verecektir. e sayısının ortaya çıkışındaki sebeb budur ve bahsedilen alanın 1 birime eşit olduğu nokta e noktasıdır. Verdiğiniz üstel formüle göre e nin ispatı ise e sayısının bulunma amacı değil, logaritmik yada komplex sayılarla yapılabilcek bir temsilden ibaret. İspatı nasılmış diye kafa yorarız bakalım...
Tamam güzel diyorsun da;
y=1/x fonskiyonunun grafiğinin altında x=1 ile x=e aralığında kalan alanın değerinin 1 olduğunun hesabını yapıyoruz. Daha doğrusu 1 ile hangi diğer uç nokta arasındaki alan 1 dir sorusuna cevap olacak uç noktayı arıyoruz.
Fakat e sayısı daha bilinmezken nasıl olur da dx/x in integralinin ln x olduğundan bahsedilebilir. Alanı integral almadan mı hesaplamış bu adam?
Zira ln x, e tabanındaki logaritma.
dx/x integrali ln(x) dolayısı ile ln logaritma tablosu e sayısı bilinmediğine göre düzenlenmiş olamaz.
Haydi integrale ln(x) değil de log(x)/log(e) diyelim, diyelim ama gene işin içinde e var.
eee nerede bu hesaplayacağımız e, nerede bu bu görünen e. Tavuğu mu yumurtadan çıkartacağız, yumurtayı mı tavuktan?
Alıntı yapılan: pisayisi - 24 Şubat 2013, 23:59:27
Buna göre e, öyle bir sayı olmalıymış ki; e tabanına göre logaritma alındığında sonuç 1 olsun ve bu da hiperbolun 1 ile e aralığındaki alanına eşit olsun.
burda ne demek istiyon
e nin e ye logaritması x in x logaritmaı gibi birdir.
daha e yi bulmadan e yi nasıl taban yapacaz
Newton 1643 yilinda doğmuş. 1665 yılında diferansiyel hesap integral gibi konuların temellerini atmış.
Newton hareket denklemlerini vs ilk yazan kişi. Sönümlü hareketler vs muhtemelen bu büyük bilim adamı tarafından modellendi ve çözüldü. Sönüm varsa işin içinde e sayısı da var demektir.
1661 de Huygens, e konusunda çalışmalar yapmış. Leonhard Euler 1707 de doğmuş. e sayısı kesinlikle Eulerden önce bulunmuş olmalı.
e^x fonksiyonu kesinlikle Newton tarafından kullanılmış olması lazım.
Matematik dünyası da sanırım e sayısının ortaya çıkışı ile ilgili çok net bilgi veremiyor. Tarihi kayıtlar mı ele geçmedi acaba?
Ünlü bilim adamlarının çalışma kağıtları yeni nesillere ulaşamadan çekirdek külahı mı oldu acaba?
Hocam bu kütüphanenin yakılıp yok edilmesi insanlık adına çok büyük bir ayıp ve kayıp.
Ancak kütüphanenin yakılışı 400'ncü yıllara rastlıyormuş.
Bizim ilgilendiğimiz tarih 1600 lü yıllar.
http://tr.wikipedia.org/wiki/%C4%B0skenderiye_K%C3%BCt%C3%BCphanesi (http://tr.wikipedia.org/wiki/%C4%B0skenderiye_K%C3%BCt%C3%BCphanesi)
Alıntı yapılan: gerbay - 25 Şubat 2013, 08:48:30
eğer iskenderiye kütüphanesi yakılıp yıkılmasaydı tam olarak nereden ne şekilde çıktığını biliyor olurduk.. Hz.Süleyman devrinden kalan başka bilgiler ile birlikte ki, piri reis de yaptığı dünya haritasının aslının Hz.Süleyman dan kaldığını yazıyor bir şiirinde..
Pri reisin 2-3 haritası var. ilk haritaları bir çok yanlış ile dolu. Amerikaya gidip gelenlerden yakalayıp aldıkları bilgilere göre sonradan düzgün bir harita çiziyor. HZ Süleyman ile ilgisi yok. Haritası çok büyük bir denizcilik örnegide değil. O zaman var olan haritaların bir benzerini düzgün bir şekilde hazırlamış.
Kolomb amerika seferinden önce osmanlı ilede görüşmüş, destek için.
Hocam elbette e ile ilgileniyorum. İskenderiye kütüphanesinde e ile ilgili bilgi olmaması lazım çünkü kütüphane 400 yıllarında yanmış. Halbuki Newton 1600 lı yılların ortasında integral hesaba başlamış.
e sayısının 1600 den önce anılması imkansız.
soru nezaman veya kim buldu değil hiç te önemli değil.
nerden nasıl buldu
unutmamak gerekirki avrupa parmakla roma rakamları hesabı yaparken
ortadoğu bilmem kaç bilinmeyenki denklemlerin çözüm yöntemini geliştirmişti.
newtondan önce hiçbirşey yoktu gibi anlayış yanlıştır.
birileride bulmuş olabilir.
Pi mi bu? e sayısının farkına integral ve diferansiyel hesaptan önce nasıl varılabilirki?
Tarihi;
http://mathworld.wolfram.com/e.html (http://mathworld.wolfram.com/e.html)
İspatları;
http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20090603112436AAzDqcG (http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20090603112436AAzDqcG)
ekstra :)
http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/ (http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/)
Hocam yukarıdaki sorular aynen bunun için de geçerli.
(http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/EAreaPlot_1000.gif)
1 den hangi aralığa kadar olan kısmı alalım ki mavi alanın değeri 1 olsun sorusuna cevap arıyoruz.
Bu alanı nasıl hesaplarsın? Hani seçilen sınır için mavi bölgenin alanı 1 oldumu olmadımı diye?
Alıntı yapılan: z - 25 Şubat 2013, 13:25:24
Pi mi bu? e sayısının farkına integral ve diferansiyel hesaptan önce nasıl varılabilirki?
Compound interest
The effect of earning 20% annual interest on an initial $1,000 investment at various compounding frequencies
Jacob Bernoulli discovered this constant by studying a question about compound interest:[6]
An account starts with $1.00 and pays 100 percent interest per year. If the interest is credited once, at the end of the year, the value of the account at year-end will be $2.00. What happens if the interest is computed and credited more frequently during the year?
If the interest is credited twice in the year, the interest rate for each 6 months will be 50%, so the initial $1 is multiplied by 1.5 twice, yielding $1.00×1.52 = $2.25 at the end of the year. Compounding quarterly yields $1.00×1.254 = $2.4414..., and compounding monthly yields $1.00×(1+1/12)12 = $2.613035... If there are n compounding intervals, the interest for each interval will be 100%/n and the value at the end of the year will be $1.00×(1 + 1/n)n.
Bernoulli noticed that this sequence approaches a limit (the force of interest) with larger n and, thus, smaller compounding intervals. Compounding weekly (n = 52) yields $2.692597..., while compounding daily (n = 365) yields $2.714567..., just two cents more. The limit as n grows large is the number that came to be known as e; with continuous compounding, the account value will reach $2.7182818.... More generally, an account that starts at $1 and offers an annual interest rate of R will, after t years, yield eRt dollars with continuous compounding. (Here R is a fraction, so for 5% interest, R = 5/100 = 0.05)
Paradan faiz almanin sumerler/fenikeliler devrinden beri yapildigini biliyoruz. Herhalde 1600lere kadar gecen 3-4 bin sene sirasinda baska birileride bunun farkina varip vay be demistir!
Bir serinin toplamı adını sanını bilmediğimiz 2.718... gibi bir sayıya yakınsadı diyemi a a a ilginç bir sayı bu dendi diyorsunuz?
Sonsuz toplamı 1, 2, 3, 4, 5 gibi değerlere yakınsayan serileri de yazabiliriz ve elde ettiğimiz bu sayılar a a a dememizi gerektirecek güzellikte sayılar değiller.
e yi muhteşem kılan e^x fonskiyonunun türev ve integralinin gene kendisinin oluşu. (Bu benim görüşüm). Bu da ancak diferansiyel hesap sonrası ortaya çıkacak bir durum.
Pi öyle değil mesela. En basitinden daire alanı yada çevresi ile çap arasında böyle bir katsayının oluşu hemen dikkatleri kendine çekiyor.
e nin hikayesini arıyorum. Yukarıdaki 1/x fonksiyonunda ki sorular bir cevaplansa sorun kalmayacak.
Grafiği vermişsiniz işte ne güzel, orda görünen mavi alanın 1 birim olduğu noktayı yatay eksende e olarak kabul etmişler, tamamıyla varsayım siz Z de diyebilirdiniz. Dolayısı ile eğrilerin altındaki alanla logaritma arasındaki sonucu bildiğinize göre e tabanlı logaritmaya nasıl varıldığı da apaçık ortada...
Söylediklerinizi de gözönüne alarak;
Maviye boyanmış alanın değerinin 1 olduğunu varsayıp bu sonucu verecek sınırları merak ediyoruz. Sınırın başlangıcı 1. Biz sınırın bitiş değerini bilmek istiyoruz.
Bu sayının değerini bilmediğimiz için buna bir sembol verelim. Kabul.
Bu sembol e olsun.
Bu mavi alan dx/x ' in 1...e aralığındaki integrali ile hesaplanır. (e bilinmiyor. Sadece bir sembol.)
Ama bu sınırlı integralin sonucunun 1 olduğunu biliyoruz.
1/x fonksiyonunun integral alındığında f(x) fonksiyonuna ulaşacağız. Biz neyi bilmiyoruz? dx/x integralinin ln(x) olduğunu bilmiyoruz. Çünkü e henüz icad edilmedi. Fakat; f(e) - f(1) = 1 biliyoruz.
f(1)=0 yazabiliriz. Çünkü geçmişten gelen alan yok.
O halde f(e)=1 dir.
Bu noktayı aşabilmem için bana 1/x fonksiyonunun integralinin nasıl bulunduğunu (icat edildiğini) söyleyebilirmisiniz?
burda bir çok kez dönüp dolaşılıp integrela geldi iş.aynı şekilde ne zaman integral işlemi çıktı sorusu gelir akla.birçok kişi eskiden belli bir simeterisi olmayan şekillerin alanlarının olabildiğinde kücük dikdörgenlerinin alanları olarak hesaplama yönteminin bilindiğinden çıkarak bu soruyu açıklamaya çalışacak.aslında antik çağlardan beri hatta ortaçağdada aslında matemtiksel bir problem geometrtika olarak ifade ediliyor ve ona göre çözüm aranıyordu.bahsi gecen dönemdede bu cok yaygındı.şöyle düşünelin ne olduda 1/x integralini almak istedik.daha öncesinde ne olduda geometrisiz integral almak istedik.aynı şekilde neden e sayısını logaritmaya soktuk....bence bunlar o dönemin geometrik problemleriydi ve bu e sayısıda bu sorulardan birinin cevabıydı.aynı şekilde pi sayısının olduğu gibi.yine aynı şekilde altın oranın olduğu gibi..
matlabta hesaplıcak olsak kolay
sm=100000;
x = linspace(1,5,sm);
f=1./x;
top=0;
for i=2:sm
top = top + ( f(i) + f(i-1) )/2 * ( x(i)-x(i-1) ) ;
if(top>1)
break
end
end
msg=sprintf('number e = %d',x(i));
disp(msg);
format long
x(i)
ama bu sorunu o dönemde nasıl çözdüler bunu söylebilecek olan varmı
söyliyemiceksenizde bilgiçlik adına boş laflar yazmayın
nasıl çözdüler değil neden çözme gereği doğdu ?problem nerden ve nasıl doğdu?
bu konuda z haklı.hadi şuna e diyelim.hadi 1/x eğrisinin altındaki alanı bulalım,hadi şunu yapalım şeklinde olmadı bunlar.mutlaka bir ihtiyaç doğrultusunda oldu.
zaten bizde geriye doğru anlamaya çalışıyoruz dimi
toplamayı ele alalım
eğer toplamayı nasıl yapıldığını anlamazsak
toplamayı niye yaptılar onu nasıl anlayalım
geriye doğru gidilecek son notalardan biri antik yunandır.çünkü ozamanlarda madde tüm boyutları ile tartışılmaya açılmıştır.maddeyi oluşturan şey nedir.zaman nedir.devinim nedir?o döenmlerde çıkan ok paradoksu ile fiziksel bir şey sınırları araştırılmıştır.bir doğru parçası ne kadar bölünebilir.bakınız burda neden belli.amaç belli.bir ok nasıl oluyorda sonlu zamanda sonsuz parçağın toplamı şeklindeki doğru parçasını yani mesafeyi kat edebiliyor.tabi türev görmüş günümüz homo sapiensleri hemen atlıyor.
bence bu e sayısı tamamen geometrik bir problemi çözmeye çalışırken çıkarılmıştır.eskiden denklemlerde geometri ile çözülürdü belli bir dereceye kadar.
yine geometri kullanarak küçük dikdörgenlere ayırma metodu ile belli bir hata payı için belli sayılara ulaşılmış olabilir.
Alıntı yapılan: speak48 - 25 Şubat 2013, 16:42:46
ama bu sorunu o dönemde nasıl çözdüler bunu söylebilecek olan varmı
söyliyemiceksenizde bilgiçlik adına boş laflar yazmayın
gökten antik yunan düşsün emi
2 de bir aynı şeyi yazıp duruyorsun bu soruyu o dönemde nasıl çözzdüler.
o dönemde o sorunun olduğunu nerden biliyorsun?çıkış noktası bumu?sadece 1/x eğrisinin altında kalan alanımı merak etmişler.o dönemde o soruyu doğuran nedeni değil e yi hangi soru gerektirdide e gibi bir sayıya ulaşıldı.
Peki e yi unutalım. Dolayısı ile ln(x) fonksiyonunu da unutalım. Daha icat edilmedi.
Ama logaritma icat edildi.
Kim log(x) in türevini hesaplayabilir?
Başlangıcı ben yapayım.
y=log(x)
x=10^y
dx/dy=lim dy-->0 (10^(y+dy) - 10^y)/dy = lim dy-->0 10^y (10^dy - 1)/dy
Haydi bunu hesaplayın belki e'de kaldığımız yerden devam ederiz.
Alıntı yapılan: z - 25 Şubat 2013, 15:49:47
Bu noktayı aşabilmem için bana 1/x fonksiyonunun integralinin nasıl bulunduğunu (icat edildiğini) söyleyebilirmisiniz?
Natural logaritma yani ln 1/x fonksiyonunun 1 den istediğimiz noktaya kadar ilerlediğimizde eğrinin altındaki alanı veriyordu çünkü böyle tanımlanmış. Bu alanı da 1/x i integre ederek bulabildiğimize göre 1/x in integrali sınırlarda sıkıntı yoksa ln(x) olacaktır, çünkü eğrinin altındaki alan için logaritmik bir fonksiyon tanımı yapmışız. Aslında hepsi varsayımdan ibaret, dikkat edin hiç bir ifade size alanın sayısal değerini veremiyor tamamı hayaller varsayımlardan ibaret. Eğer ifadem yanış ise 1/x i hiç logaritma bilmeden integre ederek sonucu verin derim. Bu durumda değişkene bağlı basit bir çözümünüz hiç olmayacak...
Alıntı yapılan: fractal - 25 Şubat 2013, 17:56:51
2 de bir aynı şeyi yazıp duruyorsun bu soruyu o dönemde nasıl çözzdüler.
o dönemde o sorunun olduğunu nerden biliyorsun?çıkış noktası bumu?sadece 1/x eğrisinin altında kalan alanımı merak etmişler.o dönemde o soruyu doğuran nedeni değil e yi hangi soru gerektirdide e gibi bir sayıya ulaşıldı.
illa cevabı sana soruyormuşum gibi yazılı sonrası öğrenci hali almışsın
feveran etmenin anlamı yok.
bilmiyorsan susulur.
mesaj birleştirme:: 25 Şubat 2013, 20:38:26
Alıntı yapılan: pisayisi - 25 Şubat 2013, 18:24:37
Natural logaritma yani ln 1/x fonksiyonunun 1 den istediğimiz noktaya kadar ilerlediğimizde eğrinin altındaki alanı veriyordu çünkü böyle tanımlanmış.
(http://b1302.hizliresim.com/16/t/khqwc.png)
çizdim baktım harbiden öyle
Alıntı yapılan: mufitsozen - 25 Şubat 2013, 14:40:18
Compound interest
The effect of earning 20% annual interest on an initial $1,000 investment at various compounding frequencies
Jacob Bernoulli discovered this constant by studying a question about compound interest:[6]
An account starts with $1.00 and pays 100 percent interest per year. If the interest is credited once, at the end of the year, the value of the account at year-end will be $2.00. What happens if the interest is computed and credited more frequently during the year?
If the interest is credited twice in the year, the interest rate for each 6 months will be 50%, so the initial $1 is multiplied by 1.5 twice, yielding $1.00×1.52 = $2.25 at the end of the year. Compounding quarterly yields $1.00×1.254 = $2.4414..., and compounding monthly yields $1.00×(1+1/12)12 = $2.613035... If there are n compounding intervals, the interest for each interval will be 100%/n and the value at the end of the year will be $1.00×(1 + 1/n)n.
Bernoulli noticed that this sequence approaches a limit (the force of interest) with larger n and, thus, smaller compounding intervals. Compounding weekly (n = 52) yields $2.692597..., while compounding daily (n = 365) yields $2.714567..., just two cents more. The limit as n grows large is the number that came to be known as e; with continuous compounding, the account value will reach $2.7182818.... More generally, an account that starts at $1 and offers an annual interest rate of R will, after t years, yield eRt dollars with continuous compounding. (Here R is a fraction, so for 5% interest, R = 5/100 = 0.05)
Paradan faiz almanin sumerler/fenikeliler devrinden beri yapildigini biliyoruz. Herhalde 1600lere kadar gecen 3-4 bin sene sirasinda baska birileride bunun farkina varip vay be demistir!
Hocam bana manyıklı geldi bu aslında. Birisi çıkıp buradan doğal logaritma diye bir şey olduğunu bulmuş olabilir. Tabii bunun doğal olduğunu anlaması için fiziğin biraz daha gelişmesini beklemek gerekebilir.
günlük hayattan benzer durum olarak bir su deposunun boşalma süresi de 1/x grafiğine benziyor belki bu tarz bir şeyi hesaplamak içinde kullanılmış olabilir ?
[jstex]\sum_{0}^{48}speak=\int_{0}^{\propto }shut\,up![/jstex] işte eğrinin altındaki alan veren
neyse
belki o dönemlerdeki mühendislik problemlerindende doğmuş olabilir.çünkü ozamanlar özellikle bazı yapılarda mimari bazı problemler vardı örneğin kare bir yapı üzerine kubbe oturtma.
bu arada istediğimiz herhangi bir aralıkta irrasyonel sayı üretebilirmiyiz?bir irrasyonel sayı üretme formülü varmı?kastım şu değil e-n yada pi-n..ama şu olabilir tabi..pie diye birşey tanımlarız pie=pi+e..
Belliki bu soru gümbürtüye gidecek. Ama izin vermeyeceğim.
Düzeni bozanlar tıklasın.
(http://www.mertoglu.com.tr/?kumhavuzu=&sf=urundetay&urunid=328)
Alıntı yapılan: z - 25 Şubat 2013, 18:24:11
Peki e yi unutalım. Dolayısı ile ln(x) fonksiyonunu da unutalım. Daha icat edilmedi.
Ama logaritma icat edildi.
Kim log(x) in türevini hesaplayabilir?
Başlangıcı ben yapayım.
y=log(x)
x=10^y
dx/dy=lim dy-->0 (10^(y+dy) - 10^y)/dy = lim dy-->0 10^y (10^dy - 1)/dy
Haydi bunu hesaplayın belki e'de kaldığımız yerden devam ederiz.
burada harbiden enin gizemi çıktı karşımıza
(http://b1302.hizliresim.com/16/u/kj5nl.png)
sm=10000;
x = linspace(1,20,sm);
f=1./x;
top=0;
alanlar=0;
for i=2:sm
top = top + ( f(i) + f(i-1) )/2 * ( x(i)-x(i-1) ) ;
alanlar(i)=top;
end
eler=exp(alanlar);
%%
subplot(1,3,1)
plot(x,alanlar)
grid on
subplot(1,3,2)
plot(x,log(x))
grid on
subplot(1,3,3)
plot(x,eler)
grid on
Alıntı yapılan: z - 26 Şubat 2013, 09:44:44
Belliki bu soru gümbürtüye gidecek. Ama izin vermeyeceğim.
Düzeni bozanlar tıklasın.
(http://www.mertoglu.com.tr/?kumhavuzu=&sf=urundetay&urunid=328)
sanırım e yok iken türevin sonucu = 1/x * lim (n->Sonsuz) loga(1+1/n)^n gibi çıkardı . :)
Limit , türev ve seriye açma kullanarak yapılan bir çözüm aşağıda mevcut,
ln(x ) in türevini arıyoruz , formüllerdeki e türev için öteleme faktörüdür...
Derivative of ln(x)
[IMG]http://imageshack.us/a/img37/1714/lnxderivative.png[/img]
ln fonksiyonunun türevleri almadan mı bu adam seriye açmış?
ln nin türevini bulalım diyoruz ama türevleri alınarak seriye açma işlemi kullanılıyor. Yanılıyormuyum?
Evet türevin fonksiyonun x noktasındaki eğime eşit olduğundan dem vurarak ve e kadar yatay ekseni ve fonksiyonu öteleyerek eğimi bulmuş ilk satırda. Sonra türevi yani eğimi buldum diyip limitlerle, seri açılımları ile türevin 1/x olduğunu ispatlamış. Yoksa türevi klasik yöntemle bulup seriye açılım yapmıyor...
Türev almadan nasıl seriye açmış?
Açıklamanıza rağmen ben anlamadım.
ln(1+e/x) in içini seriye açmış.yani 1+e/x
Alıntı yapılan: z - 27 Şubat 2013, 14:55:14
Türev almadan nasıl seriye açmış?
Açıklamanıza rağmen ben anlamadım.
Türevi geometrik olarak aşağıdaki gibi almış, e sıfıra yakın çok küçük bir sayı olmak üzere ln(x) in eğimini bulmuş. Sonra cebrik ifadelerle seriye açmış limit almış hepsi bu. Paint de iyi kötü birşeyler çizdim umarım anlaşılır...
[IMG]http://imageshack.us/a/img805/7026/lnx2.png[/img]
bende cok sayıda faiz hesablamasından dolayı e sayısına doğru bir yönelimin olduğu ve ilk orda ortaya çıkğı görüşüne cok rasladım nette.zaten bilim ya para içindir ya savaş içindir.
birazda eulerin e sayısı ile alaksına değinsek..