3 derece denklemlerin çözümü

[z]

3 derece denklem çözümüne ait bağıntıları hocamız tahtaya yazdı ve 4 senelik eğitim boyunca 1 kere bile 3. derece denklem içeren ne bir elektrik sistemi ne de bir kontrol sistemi hesapladık.
(Parametrik çözümden bahsediyorum tabiki...)

Bugüne kadar da ne zaman bir devre analizi yapıp zaman domeni cevabını bulmaya çalışsam, 3. derece denklemle karşılaştığımda kağıt kalemi fırlatmışımdır.

Şimdilerde çok hafif bir kaynak makinesi tasarımına kafa yoruyorum. Alışılmışın dışında bir yapısı var. Gel gelelim analizini yaparken gene 3. dereceden bir polinomla karşılaştım.

Katsayılar R,L,C cinsinden olduğundan nümerik çözümler yapamıyorum. Zaten parametrik çözüm yapıp kağıt üzerinde  R,L,C nin etkisini gözlemek istiyorum.

Neyse;

Vikipedi de 3. dereceden denklem çözümü ile ilgili bir yazı buldum ve sayfama aynen kopyaladım.

2. dereceden bir denklemin diskriminantını hesaplayıp çözümü yapabiliyoruz. Bunu http://www.cncdesigner.com/wordpress/?p=858 de açıkladım.

3. derece denklem çözümü için vikiden alıntıladığım yöntem ise http://www.cncdesigner.com/wordpress/?p=4893 de.

Bana bu yöntemin nasıl ortaya çıkartıldığını kim izah edebilir.

[ErsinErce]

Kontrol derslerinde 3. dereceden çözümler sürekli kullanılıyordu hocam,
yanlış hatırlamıyorsam Ogata diye bir hocanın Modern Control Engineering kitabı çok işimize yarıyordu

[z]

3 dereceden sistemlerle bizde çok çalıştık.

Transfer fonksiyonu aşağıdaki 3 dereceden bir sistemi ele alalım.  Burada a, w ve b bilinen katsayılar olmak üzere;

y(s)= 1/ [(s+a+jw)(s+a -jw)(s+b)] dir.

Bu sisteme 1/s basamak sinyali uygulandığında zaman domenindeki cevabı nedir sorusuna kontrol dersi almış tüm öğrenciler
cevap verebilir.

********  Çakal hocalar aynı soruyu şu şekilde sorarsa kaç kişi çözebilir. ***********

Bir sistemin transfer fonksiyonu aşağıdaki gibidir. Burada m, n, k bilinmektedir.

y(s)=1 / (s^3 + ms^2 + ns + k)

Sistemin basamak girişine karşılık zaman domeni cevabını bulunuz.

Bana c(t) cevabını m,n,k parametreleri cinsinden kim yazabilir?

[z]

Sadece zeki insanlar anlayabilir.

http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/courses/cubic/

Bana bunu anlatabilecek kim var?
mesaj birleştirme:: 14 Haziran 2015, 16:31:53
Dip not: 1545 yılında vatandaşın birisi PC vs olmadan çözmüş.

mesaj birleştirme:: 14 Haziran 2015, 19:15:58
https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function

[irdal]

Hocam çok fazla bakamadım ama linkte ispatı var
http://mathworld.wolfram.com/CubicFormula.html

[ErsinErce]

3 dereceden sistemlerle bizde çok çalıştık.

Transfer fonksiyonu aşağıdaki 3 dereceden bir sistemi ele alalım.  Burada a, w ve b bilinen katsayılar olmak üzere;

y(s)= 1/ [(s+a+jw)(s+a -jw)(s+b)] dir.

Bu sisteme 1/s basamak sinyali uygulandığında zaman domenindeki cevabı nedir sorusuna kontrol dersi almış tüm öğrenciler
cevap verebilir.

********  Çakal hocalar aynı soruyu şu şekilde sorarsa kaç kişi çözebilir. ***********

Bir sistemin transfer fonksiyonu aşağıdaki gibidir. Burada m, n, k bilinmektedir.

y(s)=1 / (s^3 + ms^2 + ns + k)

Sistemin basamak girişine karşılık zaman domeni cevabını bulunuz.

Bana c(t) cevabını m,n,k parametreleri cinsinden kim yazabilir?

bizim hoca çakallardandı sanırım bize formül veya giriş sinyalinin dönüştürülmüş hali verilmedi

t->s->t dönüşümü yapıyorduk, sınavda çok uzun süre almasın diye biraz daha basit ve düşük dereceli oluyordu tabi

eski notlarımı bulabilirsem benzer örnek vardı buraya yüklerim hocam

[z]

Hocanız çakallığı tam beceremememiştir.

3 derece denklemde bir iki deneme atışında 1. kökün hemencecik bulunabildiği örnekleri çözmüştür.

Gene de notlarınızı merak ediyorum.

[ErsinErce]

notlarımı bulamadım ama çözüm için kullandığımız yöntemi başka bir kaynaktan buldum

http://www.yildiz.edu.tr/~omurlu/CF/OKI/3.pdf sf:25-26


Modern Control Engineering - Ogata 3rd edition sf:41 de matlab yardımıyla verdiğiniz örneği çözebilmeniz için yöntem gösteriliyor hocam

fakat katsayıya etkisini görebilmeniz için o değerleri seri olarak girip çıkışını grafik olarak almanız şart gibi, hatırladığım kadarıyla 2-3 komutla herşeyi hızlıca ekrana dökebilirsiniz

bir akşamınızı ayırmanız gerekebilir (öğrenme->uygulama)

[z]

Hocam bu konuları yaladım yuttum artık. 2. dereceye kadar hiç sıkıntım yok.

Sorun 3. derece denklemde tıkanıyor. Matlab 3 derece denklem çözümünü bana parametrik verebiliyormu?

Atıyorum karakteritik denklem;

s^3+ (a+b)S^2 + (a/c)S + c=0

Sönüm katsayısının 0.6 olması için R,L,C değerleri arasıda nasıl bir bağıntı olmalı.

Burada a,b,c RLC nin fonksiyonları

Mesela atıyorum a=karerekök R+L/C

b=R*L/(4C+1)

c=R*L/C

a,b,c ile RLC arasındaki verdiğim bağıntılar atmasyon örnek tabiki .  (Böyle kafadan R,L,C toplanıp, çarpılamaz, çıkartılamaz.)

[mufitsozen]

Hocam bu konuları yaladım yuttum artık. 2. dereceye kadar hiç sıkıntım yok.

Sorun 3. derece denklemde tıkanıyor. Matlab 3 derece denklem çözümünü bana parametrik verebiliyormu?

Atıyorum karakteritik denklem;

s^3+ (a+b)S^2 + (a/c)S + c=0

Sönüm katsayısının 0.6 olması için R,L,C değerleri arasıda nasıl bir bağıntı olmalı.

Burada a,b,c RLC nin fonksiyonları

Mesela atıyorum a=karerekök R+L/C

b=R*L/(4C+1)

c=R*L/C

a,b,c ile RLC arasındaki verdiğim bağıntılar atmasyon örnek tabiki .  (Böyle kafadan R,L,C toplanıp, çarpılamaz, çıkartılamaz.)

sayin @z hocam,

bir calculator yada 10 satir bir programla herhangi bir polynomial denklemin butun "real" koklerini .0001 snden daha cabuk bulabilirsiniz.

Bence bu isi cebirle değil bilgisayar ile cozmek daha dogru olur.

Butun numerical algortihms kitaplarinda cesitli yontemler var, yani 1540'dan beri bu isler cok kolaylasti. Aradaki surede neler yapmislar ogreneyim demek yerine "let the computer do the dirty work".
mesaj birleştirme:: 20 Haziran 2015, 22:01:08

>>> from sympy import *
>>> x = symbols('x')
>>> from sympy import roots, solve_poly_system

>>> solve(x**3 + 2*x + 3, x)
           ____          ____
     1   \/ 11 *I  1   \/ 11 *I
[-1, - - --------, - + --------]
     2      2      2      2

>>> p = Symbol('p')
>>> q = Symbol('q')

>>> sorted(solve(x**2 + p*x + q, x))
          __________           __________
         /  2                 /  2
   p   \/  p  - 4*q     p   \/  p  - 4*q
[- - + -------------, - - - -------------]
   2         2          2         2

>>> solve_poly_system([y - x, x - 5], x, y)
[(5, 5)]

>>> solve_poly_system([y**2 - x**3 + 1, y*x], x, y)
                                   ___                 ___
                             1   \/ 3 *I         1   \/ 3 *I
[(0, I), (0, -I), (1, 0), (- - + -------, 0), (- - - -------, 0)]
                             2      2            2      2

http://docs.sympy.org/0.7.1/modules/polys/basics.html#solving-equations

surum 1 den kucuk oldugu icin her polynomu cozemiyoruz diyorlar ama, sizin isinize yarayabilir.

[ErsinErce]

The Root Locus Method
! No longer available

https://www.google.com.tr/search?q=root+locus+method+matlab

sanırım tam olarak aradığınız şey bunlar hocam

oda olmadı rational root test ile parametresel root bulunabilir belki

[z]

Mufitsozen hocam.

Polinomun katsayıları 1,5,8 gibi sayısal veriler olsa zaten kökleri en azından bilgisayara denete denete bulurum.

Fakat katsayılar parametre olunca bilgisayar yardımcı olamıyor.

Neyse ben debelenmeye devam edeyim.

[mufitsozen]

Mufitsozen hocam.

Polinomun katsayıları 1,5,8 gibi sayısal veriler olsa zaten kökleri en azından bilgisayara denete denete bulurum.

Fakat katsayılar parametre olunca bilgisayar yardımcı olamıyor.

Neyse ben debelenmeye devam edeyim.

parametrede olsa cok kisa bir surede cok fazla denklem cozebilecegin icin belli araliklarda butun degerleri deneyebilirsin, isine yarayan degerlerle yaspacagin bir tablodan senin tanimliyacagin bir "cost" fonksiyonuna gore degerleri degerlendirirsin

sonucta R, L ve Cnin alacagi degerler 10, 15 hadi olsun 100.

aldigin sonuclara gore daha hassas cozumler yapabilirsin.

[trgtylcnky]

Evet hocam, sanırım root locus yöntemini kullanmak lazım. Biz derste şunu yapıyorduk: Root locus'a göre açısal hız ve sönüm katsayısı için aralıkların içinde olan iki kök belirlenir. Üçüncü kökün sonucu çok az etkilemesi sağlanır. Mesela iki kök -1.2 ve -3 olsun, üçüncü kökü -150 filan seçerseniz ki onun etkisi hemen sönümleneceği için sıkıntı olmaz. Daha sonra da ikinci dereceden denklem gibi düşünüp parametreleri bulursunuz. Yani sistemi ikinci dereceden gibi davranmaya zorluyorsunuz.