e sayısına eşitlik durumu

[z]

Bu eşitliğin ispatını arıyorum.

e sayısının hikayesi ile ilgili iki link.

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html

http://www.math.uconn.edu/~glaz/my_articles/theenigmaticnumbere.convergence10.pdf

[speak48]

burada bulmak zor olsa gerek
e ye benimde ilgim var
esas geldiği yer 1/x in altında 1 ile e arası alanın  1 olmasından.
ama nasıl hesaplanmış bilmiyorum.

[z]

1/x fonksiyonundan yola çıkıp e'ye ulaşma fikri bana biraz kaçamakca cözüm gibi geliyor. (Hissi davranıyorum)

Neden bir adam durup dururken 1/x fonksiyonunun çok dar bir aralığının alanını bulmak istesin? Evet bulunca e sayısına ulaşır da neden istesin?

Asıl merak ettiğim konuların başında ise, 1/x fonksiyonunun integrali ne zamandan beri çözülebiliyordu? Mukayese edecek olursak e sayısının farkına varılışından çok çok önce çözülebiliyormuydu?

[pisayisi]

1661 de Huygens 1/x hiperbolunun 1 ile e aralığındaki alanının 1 birim olduğunu bulmuş .Buna göre e,  öyle bir sayı olmalıymış ki; e tabanına göre logaritma alındığında sonuç 1 olsun ve bu da hiperbolun 1 ile e aralığındaki alanına eşit olsun. 

hiperbolun 1 noktasında tüm logaritmalar sıfırdır.  dolayısı ile 1 noktasından sağa doğru ilerlediğinizde nerde durursanız durun o noktanın e tabanına göre alınan logaritması, 1 ile durduğunuz nokta arasındaki eğrinin altındaki alanı verecektir. e sayısının ortaya çıkışındaki sebeb budur ve bahsedilen alanın 1 birime eşit olduğu nokta e noktasıdır. Verdiğiniz üstel formüle göre e nin ispatı ise e sayısının bulunma amacı değil, logaritmik yada komplex sayılarla yapılabilcek bir temsilden ibaret. İspatı nasılmış diye kafa yorarız bakalım...

[z]

Tamam güzel diyorsun da;

y=1/x fonskiyonunun grafiğinin altında x=1 ile x=e aralığında kalan alanın değerinin 1 olduğunun hesabını yapıyoruz. Daha doğrusu 1 ile hangi diğer uç nokta arasındaki alan 1 dir sorusuna cevap olacak uç noktayı arıyoruz.

Fakat e sayısı daha bilinmezken nasıl olur da  dx/x in integralinin ln x olduğundan bahsedilebilir. Alanı integral almadan mı hesaplamış bu adam?

Zira ln x, e tabanındaki logaritma.

dx/x integrali ln(x) dolayısı ile ln logaritma tablosu e sayısı bilinmediğine göre düzenlenmiş olamaz.

Haydi integrale ln(x) değil de log(x)/log(e) diyelim, diyelim ama gene işin içinde e var.

eee nerede bu hesaplayacağımız e, nerede bu bu görünen e. Tavuğu mu yumurtadan çıkartacağız, yumurtayı mı tavuktan?

[speak48]

Buna göre e,  öyle bir sayı olmalıymış ki; e tabanına göre logaritma alındığında sonuç 1 olsun ve bu da hiperbolun 1 ile e aralığındaki alanına eşit olsun. 

burda ne demek istiyon
e nin e ye logaritması x in x logaritmaı gibi birdir.
daha e yi bulmadan  e yi nasıl taban yapacaz

[z]

Newton 1643 yilinda doğmuş. 1665 yılında diferansiyel hesap integral gibi konuların temellerini atmış.

Newton hareket denklemlerini vs ilk yazan kişi. Sönümlü hareketler vs muhtemelen bu büyük bilim adamı tarafından modellendi ve çözüldü. Sönüm varsa işin içinde e sayısı da var demektir.

1661 de Huygens, e konusunda çalışmalar yapmış. Leonhard Euler 1707 de doğmuş. e sayısı kesinlikle Eulerden önce bulunmuş olmalı.

e^x fonksiyonu kesinlikle Newton tarafından kullanılmış olması lazım.

Matematik dünyası da sanırım e sayısının ortaya çıkışı ile ilgili çok net bilgi veremiyor. Tarihi kayıtlar mı ele geçmedi acaba?

Ünlü bilim adamlarının çalışma kağıtları yeni nesillere ulaşamadan çekirdek külahı mı oldu acaba?

[z]

Hocam bu kütüphanenin yakılıp yok edilmesi insanlık adına çok büyük bir ayıp ve kayıp.
Ancak kütüphanenin yakılışı 400'ncü yıllara rastlıyormuş.

Bizim ilgilendiğimiz tarih 1600 lü yıllar.

http://tr.wikipedia.org/wiki/%C4%B0skenderiye_K%C3%BCt%C3%BCphanesi

[hgs]

eğer iskenderiye kütüphanesi yakılıp yıkılmasaydı tam olarak nereden ne şekilde çıktığını biliyor olurduk..  Hz.Süleyman devrinden kalan başka bilgiler ile birlikte ki, piri reis de yaptığı dünya haritasının aslının Hz.Süleyman dan kaldığını yazıyor bir şiirinde..

Pri reisin 2-3 haritası var. ilk haritaları bir çok yanlış ile dolu. Amerikaya gidip gelenlerden yakalayıp aldıkları bilgilere göre sonradan düzgün bir harita çiziyor. HZ Süleyman ile ilgisi yok. Haritası çok büyük bir denizcilik örnegide değil. O zaman var olan haritaların bir benzerini düzgün bir şekilde hazırlamış.
Kolomb amerika seferinden önce osmanlı ilede görüşmüş, destek için.

[z]

Hocam elbette e ile ilgileniyorum. İskenderiye kütüphanesinde e ile ilgili bilgi olmaması lazım çünkü kütüphane 400 yıllarında yanmış. Halbuki Newton 1600 lı yılların ortasında integral hesaba başlamış.
e sayısının 1600 den önce anılması imkansız.

[speak48]

soru nezaman veya kim buldu değil hiç te önemli değil.
nerden nasıl buldu

unutmamak gerekirki avrupa parmakla roma rakamları hesabı yaparken
ortadoğu bilmem kaç bilinmeyenki denklemlerin çözüm yöntemini geliştirmişti.

newtondan önce hiçbirşey yoktu gibi anlayış yanlıştır.
birileride bulmuş olabilir.

[z]

Pi mi bu? e sayısının farkına integral ve diferansiyel hesaptan önce nasıl varılabilirki?

[ErsinErce]

Tarihi;
http://mathworld.wolfram.com/e.html

İspatları;
http://answers.yahoo.com/question/index?qid=20090603112436AAzDqcG


ekstra 
http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/

[z]

Hocam yukarıdaki sorular aynen bunun için de geçerli.



1 den hangi aralığa kadar olan kısmı alalım ki mavi alanın değeri 1 olsun sorusuna cevap arıyoruz.

Bu alanı nasıl hesaplarsın? Hani seçilen sınır için mavi bölgenin alanı 1 oldumu olmadımı diye?

[mufitsozen]

Pi mi bu? e sayısının farkına integral ve diferansiyel hesaptan önce nasıl varılabilirki?

Compound interest
The effect of earning 20% annual interest on an initial $1,000 investment at various compounding frequencies

Jacob Bernoulli discovered this constant by studying a question about compound interest:[6]

    An account starts with $1.00 and pays 100 percent interest per year. If the interest is credited once, at the end of the year, the value of the account at year-end will be $2.00. What happens if the interest is computed and credited more frequently during the year?

If the interest is credited twice in the year, the interest rate for each 6 months will be 50%, so the initial $1 is multiplied by 1.5 twice, yielding $1.00×1.52 = $2.25 at the end of the year. Compounding quarterly yields $1.00×1.254 = $2.4414..., and compounding monthly yields $1.00×(1+1/12)12 = $2.613035... If there are n compounding intervals, the interest for each interval will be 100%/n and the value at the end of the year will be $1.00×(1 + 1/n)n.

Bernoulli noticed that this sequence approaches a limit (the force of interest) with larger n and, thus, smaller compounding intervals. Compounding weekly (n = 52) yields $2.692597..., while compounding daily (n = 365) yields $2.714567..., just two cents more. The limit as n grows large is the number that came to be known as e; with continuous compounding, the account value will reach $2.7182818.... More generally, an account that starts at $1 and offers an annual interest rate of R will, after t years, yield eRt dollars with continuous compounding. (Here R is a fraction, so for 5% interest, R = 5/100 = 0.05)

Paradan faiz almanin sumerler/fenikeliler devrinden beri yapildigini biliyoruz.  Herhalde 1600lere kadar gecen 3-4 bin sene sirasinda baska birileride bunun farkina varip vay be demistir!