Newton Yöntemi

[hacettepeli_muhendis]

bu yöntem herhangi bir polinomun reel köklerini bulmak için kullanılan nümerik bir yöntemdir bu yöntemin temelini şimdi açıklayalım



f'(x) polinomun türevi

f'(x0)=~( f(x0)-f(x1) )/( x0-x1 )

burda x0 reel köke yakın bir değer
eğer x0 doğru seçilirse x1 x0 a daha yakın bir nokta olacaktır

dolayısı ile f(x1)=~0 alınabilir (x1 köke daha yakın çünkü) bu durumda

f'(x0)=~f(x0)/( x0-x1 )

burdan x1 i çekersek

x1=x0-f(x0)/f'(x0)

bunu genelleştirirsek her adımda gerçek köke daha çok yaklaşırız

xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)

örn:

f(x)=3x^2+20x+24
f'(x)=6x+20

x0=-2

f(x0)=-4
f'(x0)=+8
x1=-2-(-4/8 )=-1.5

tekrar bu sefer x1 için uyguluyoruz

f(x1)=0.75
f'(x1)=11

x2=-1.5-(0.75/11)= -1.5681

x2 yi kullanıp bi daha yapacağız
x3=-1.5695 çıkıyor

gerçek köke çok yakın discriminant kullanarak bulabilirsiniz

he diceksiniz şimdi bu 2 derece için bunla niye uğraştık doğru 2. derece için değmez ama 3,4,5... dereceler için çok şık bir yöntem

[Petek]

Bu metod karekök bulmak için şöyle olurdu:

x^2 = y olsun. Yani  x = sqrt(y)

Polinom şekli:
f(x) = x^2 - y = 0

y = 50 alalım.

xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)

xn+1 = xn - [x^2 - y] / 2x

x0 : ilk değer, tahmini olarak o da 50 olsun.

x1 =    50 - [50^2   - 50] /  (2*50  ) = 25.5
x2 = 25.5 - [25.5^2 - 50] / (2*25.5) = 13.73039
x3 = 13.73-[13.73^2 - 50] / (2*13.73) = 8.685954
x4 = ... = 7.22119
x5 = ... = 7.072628
x6 = ... = 7.071068
x7 = ... = 7.071068

Son iki rakam arasındaki fark 0.000001 den küçük olduğu için sonuç yakınsamıştır. 50 nin karekökü  7.071068 dür.